Hier ein wirklich sehr schweres aber interessantes Rätsel.
Man hat zwölf Kugeln gleicher Farbe und gleicher Größe. Mit dem menschlichen Auge kann man sie alle nicht voneinander unterscheiden. Man weiß aber, daß elf dieser zwölf Kugeln auch das gleiche Gewicht besitzen, die übrige Kugel jedoch von einem anderen Gewicht ist. Weiterhin besitzt man als Hilfsmittel nur eine Balkenwaage.
Wie muß man die Kugeln wiegen, um nach dem dritten Waageergebnis genau sagen zu können, welche Kugel ein anderes Gewicht besitzt und ob sie leichter oder schwerer ist?
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Kommentare
aber als "sehr schwer" (übrigens richtig: SCHWIERIG!) würde ich es wirklich nicht bezeichnen.
Habe übrigens das Einstein-Rätsel mit dem Fisch gelöst......... nachdem ich einen Abend lang darüber nachgedacht habe........ nach einer kurzen Verschnaufpause hatte ich dann die Erleuchtung........ggg
Gehöre ich jetzt zu den 2 % ???
Und wie erfahre ich, ob meine Lösung richtig ist ???????????????
entweder: die wage sthet im gleichtgewicht und man weiss dass die leichtere nicht unter den 8 ist, dann nimmt man die anderen 4 und wiegt jeweis auf beiden seiten der waage 2 ab. eine der beiden seiten ist nun schwerer, in dieser ist die leichtere kugel nicht. dann nimmt man die kugeln der seite wos leichter war und wiegt sie einzeln ab .
Oder: die waage steht shcon jetzt im ungleichgewicht und man nimmt dann die 4 kugeln der seite die leichter ist und verfährt wi oben!
Wenn bei einer Wägung von 4 Kugeln auf jeder Seite, eine Seite sich senkt, so wissen wir ja nicht ob die gesuchte Kugel auf der unteren Seite ist (dann wäre sie schwerer oder aber auf der oberen Seite (dann wäre sie leichter).
@ elli, du hast was falsch gemacht.
Oh doch das kann man.
1. Wiegung: Man legt auf die linke und auf die rechte Wagschale jeweils 5 Kugeln. 2 behält man in der Hand.
Möglichkeit 1 nun: Man hat unwissentlich die schwerere mit in der Hand = Waage bleibt gleich, die 10 gewogenenen Kugeln werden weggelegt, weil darunter nicht die schwerere ist.
Bei der 2. Wiegung werden nur noch die 2 Kugeln aus der Hand gewogen: 1 links und eine rechts. Ergebnis: L oder R ist die schwerere.
Möglichkeit 2: Die schwerere befindet sich unter den 2 mal 5 Kugeln aus 1. Wiegung entw. L oder R. Die Waage zeigt das an.
Fortsetzung Teil 2 wg. Textlänge
Alle Kugeln werden von der Waage entfernt. In der
2. Wiegung nimmt man die 5 Kugeln von der zuvor schwereren Seite der 1. Wiegung. Davon legt man 2 auf die linke Wagschale und 2 auf die rechte, eine bleibt in der Hand.
Bleibt die Waage gleich, habe ich die schwerere in der Hand.
Ist die Waage jedoch ungleich, zB L schwerer, dann wiegt man nur noch in der 3. Wiegung diese 2 Kugeln aus der schwereren Wagschale, also eine Links und 1 Rechts. Auf einer Seite IST die schwerere.
Damit habe ich mit 3 Wiegungen die schwerere Kugel eindeutig gefunden. Probleme also?
Ja, denn in der Aufgabenstellun g steht dass man nicht weiß ob die gesuchte Kugel schwerer oder leichter ist.
Die Lösung ist falsch.
Du hast nicht verstanden! Es ist völlig unwesentlich, ob die betreffende Kugel leichter oder schwerer ist, das Ergebnis ist mit meiner Vorgehensweise das GLEICHE!!!!
Nur, dass im Falle einer leichteren Kugel die Waage auf der einen Seite sich dann nicht absenkt, sondern hoch geht.
Ist das so schwer zu verstehen für Dich ?
Die Lösung bleibt richtig.
Übrigens gibt es noch mehrere Lösungen für diese Aufgabe!!! Meine Lösung ist EINE davon. Ich kenne noch zwei andere!
Liebe Grüsse noch ...
Wäre sie leichter, dann würde sie auf der oberen Waagschale liegen. Schwerer auf der unteren.
Du würdest jetzt nach Deiner beschriebenen Methode zwei Kugeln von der unteren Waagschale auf die linke und zwei auf die rechte Waagschale legen. Was ist aber wenn die gesuchte Kugel leichter ist und sie auf der oberen Waagschale liegt. Dann hast Du noch einen Versuch und hast nur vier neutrale Kugeln gegeneinander aufgewogen...
Willst Du nicht verstehen oder kannst Du es nicht?
"Wenn Du 5 gegen 5 Kugeln wiegst und eine Seite sich senkt, dann weißt Du ja noch nicht auf welcher Seite sich die gesuchte Kugel befindet." sagst Du.
Du blickst das nicht? Wenn ich 5 Kugeln auf jeder Seite wiege, weiss ich sehr wohl, WO sich die betreffende Kugel befindet!!!
Senkt sich die Waage auf einer Seite, dann befindet sich die schwerere logisch auf dieser einen Seite!
Hebt sich die Waage, dann weiss ich ebenfalls sehr wohl, auf welcher Seite sich die (in diesem Falle) leichtere Kugel befindet!!!
Nach meinem zuvor beschriebenen Schema gehe ich weiterhin vor, egal ob ich die leichtere oder die schwerere Kugel zu suchen habe. Das Ergebnis ist in jedem Falle klar:
Spätestens nach der 3. Wiegung HABE ich die Kugel gefunden, sei sie nun leichter oder schwerer!!!
Das ist jetzt zu schwer für Dich?? Mit einfacher Logik kannst Du es sofort selbst lösen.
Die Aufgabe bestand darin, nach max. 3 Wiegungen aus 12 Kugeln die im Gewicht abweichende herauszufinden.
--> DAS ist jedoch nur dann möglich wenn die Aufgabe lauten würde: Finden Sie nach max. 3 Versuchen die schwerere Kugel bzw. bei anderer Fragestellung: Finden Sie die leichtere.
Und das hatte ich ja mit meiner Vorgehensweise nach der max. 3. Wiegung bewiesen.
Ist die Aufgabenstellun g jedoch wie im Titel des "15 Kugeln Wiegeprblem" vorgegeben, dann ist sie mit 3 Versuchen NICHT zu lösen! Denn es wird nicht explizit angegeben, ob die einzige abweichende Kugel leichter oder schwerer ist.
Es wird lediglich gesagt, dass sie ein 'anderes Gewicht' hat, sie also schwerer oder auch leichter sein kann.
Ich füge nun einen zweiten Teil an.
Weiss ich also nicht, ob die abweichende Kugel leichter ODER schwerer ist, dann muss ich mich für EINES entscheiden. Und so war ich von einer schwereren Kugel ausgegangen, die ich nach 3. Wiegung eindeutig gefunden hätte. Eine leichtere Kugel hätte ich genau gefunden.
Aber wie Du richtig erkannt hast, hätte es sein können, dass ich eine schwerere 'angenommen' habe, demzufolge ich also die Kugeln auf der schwereren Seite auswiege, um im 3. Versuch festzustellen, dass die Waage immer noch im Gleichgewicht ist! Dann habe ich Pech gehabt, denn die abweichende Kugel war LEICHTER, befand sich also mit auf der Wagschale der anderen Seite. Aber DIE hatte ich nicht berücksichtigt.
Logisch gesehen ist es also unmöglich, nach max. 3 Wiegungen die 'abweichende' Kugel herauszufinden, weil ich ja auch noch herausfinden muss, ob die EINE Kugel schwerer ODER leichter ist. Und das geht mit 3 Wiegungen nicht, ist also unlösbar!
Es gibt aber eine Lösung mit der man immer die gesuchte Kugel findet und auch benennen kann ob sie schwerer oder leichter als alle 11 anderen Kugeln ist.
Ich habe meine Lösung, die mit 2x 5 oder 2x 6 Kugeln funzt, angegeben. Wenn ich also 2x 6 Kugeln wiege, wird die Waage auf einer Seite runtergehen. Nur weiss ich nicht, ob das eine schwerere Kugel verursacht hat oder auf der anderen Seite eine leichtere Kugel. Ich habe nur noch 2 Wiegungen übrig!
Nun bist Du dran. Du kannst ja mal kurz schildern, wie Du nach 3 Wiegungen die im Gewicht abweichende Kugel eindeutig finden willst bzw. kannst.
Mit 2 mal 6 oder 2 mal 5 Kugeln wird es nicht gehen.
mfg
zerocool
Zuerst mal kurz zur Notation die ich verwendet habe. Die Notation dürfte eigentlich klar sein, man könnte also gleich zum nächsten post, wen man will.
Gruppen von Kugeln habe ich mit A, B und C bezeichnet.
Einzelne Kugeln aus Gruppen mit A(1), A(2) usw.
Kugeln die mit Sicherheit zu den 11 gleichen zählen mit N. N bezeichnet immer nur eine Kugel keine Gruppe.
Ausdrücke der Art "N+A(1) vs. B(1)+B(3)" usw. sollen die 2 Waagschalen symbolisieren, also in linker Schale N und A(1) usw.
Habe ich N+N vs. A(1)+B(2) -> N+A(3) vs. A(1)+B(2) verwendet so deutet das an das der Schalen inhalt ohne Wiegevorgang geändert wurde.
A>B bedeutet Gruppe A schwerer Gruppe B bzw. auch A,B einzelne Kugeln.
A>(
Beim ersten Wiegen können 2 Fälle auftreten
1) A=B (zuerst gewogenen Gruppen mit A und B bezeichnet)
2) A>B (schwere Gruppe immer mit A bezeichnet)
1 Fall; Wiegen 1 -> A=B
D.h in C ist die gesuchte Kugel. Kugeln von A und B werden nun mit N bezeichnet.
Vor dem zweiten Wiegen tauschen wir C(1) gegen ein N. D.h: C(1)+C(2) vs. C(3)+C(4) -> N+C(2) vs. C(3)+C(4)
2tes Wiegen:
erhalten wir: N+C(2) = C(3)+C(4)
so wissen wir C(1) ist die gefragte Kugel, durch vgl. mit einer Kugel N bei der 3ten Messung erhalten wir das Ergebnis.
bei N+C(2) >( N+C(2) vs. C(3)+N -> N+N vs. C(3)+C(2)
3tes Wiegen:
N+N = C(3)+C(2)
wir wissen nun also das C(4) die gefragte Kugel war und da Messung 2 die Relation >((
hat also die Relation gewechselt. Die Massen sind ungleich, die abweichende Kugel noch im Spiel. Die einzige Kugel die noch abweichen kann und im vgl. zu Messung 2 gewechselt hat ist C(2). Also ist C(2) schwerer(leicht er)
bei N+N >( B, bei erster Wiegung.
Es ist also die fragliche Kugel entweder in Gruppe A oder B.
Gruppe C besteht nur aus N.
Vor dem 2ten wiegen tauschen wir nun A(1),A(2),A(3) gegen Kugeln N und A(4) gegen B(4), also
A(1)+A(2)+A(3)+A(4) vs. B(1)+B(2)+B(3)+B(4) -> N+N+N+B(4) vs. B(1)+B(2)+B(3)+A(4)
Die Auswertung folgt im nächsten Post
erhalten wir N+N+N+B(4) = B(1)+B(2)+B(3)+A(4)
so wissen wir die gesuchte Kugel ist bei den 3 getauschten und ist schwerer (Erinnerung, wir haben die schwere Gruppe immer mit A bezeichnet, keine Fallunterscheid ung >( B(1)+B(2)+B(3)+A(4)
die Relation zw. den Waagschalen ändert sich also nicht, die fragliche Kugel wurde nicht getausch. Wir wissen nun das die leichtere Kugel in B(1),B(2),B(3) ist. Das Restproblem ist wieder trivial.
erhalten wir N+N+N+B(4) < B(1)+B(2)+B(3)+A(4)
so hat die Relation getauscht, also auch die fragliche Kugel. In frage kommen nur mehr A(4) und B(4). Wenn es A(4) wäre, müsste diese schwerer sein, wäre es B(4) müsste sie leichter sein. Durch vergleich einer der beiden mit einer Kugel N ist das Problem gelöst.
Ich hoffe ich hab nichts übersehen, falls doch macht mich drauf aufmerksam.
Die Seite auswählen, wo mehr Gewicht bzw weniger Gewicht ist (...,die übrige Kugel jedoch von einem anderen Gewicht ist.)
Die Kugeln dann wieder hälfte hälfte auf der Waage verteilen
gleiche Aktion (...,die übrige Kugel jedoch von einem anderen Gewicht ist.) und dann beide Kugeln drauf packen.
Entweder die Kugeln sind gleich schwer, dann ist es die Kugel die du auf deiner Hand hast oder die Kugel, die gesucht wird, ist auf der Waage
Dann legt man sie so auf die Waage:
AB=CD
Eine Seite hat die gesuchte Kugel, ist also schwerer oder leichter.
Jetzt nimmt man A und C von der Waage
1. Gleicht sich die Waage nun aus, so hat A oder C die gesuchte Kugel.Dann tauscht man A und B.
1a) Ist die Waage immer noch gleich, so ist in C die gesuchte Kugel und man weiß ob diese Kugel leichter oder schwerer ist. Jetzt nimmt man 2 Kugeln von C und wiegt diese. Sind sie gleich, ist die 3. Kugel die gesuchte. Sonst die schwerere bzw leichtere.
1b)Gleicht sich die Waage nicht aus, so ist die gesuchte Kugel in A. Dann gleiche Vorgehensweise wie 1a).
2. Gleicht sich die Waage nicht aus, ist die Kugel in B oder C.
Dann tauscht man B und A, ... gleiche Vorgehensweise wie in 1a).
Voraussetzung ist, dass man das Runternehmen von A und C nicht als 2. Ergebnis zählt.
Beim ersten Wägegang kommen je 6 Kugeln in die Waagschalen, die Waage ist unausgeglichen, noch ist unklar, auf welcher Seite die gesuchte Kugel ist.....(siehe Fortsetzung Teil 2)
Im zweiten Wägegang nimmt man eine beliebige Kugel, die nicht zu den 2 fraglichen gehört (genannt C), und wägt C mit mit einer der beiden, z.B. A. Ist die Waage im Gleichgewicht, ist die nicht beteiligte Kugel (B) die gesuchte. Da man sich die gemerkt hat, von welcher Seite sie stammte, weiss man auch, ob sie schwerer oder leichter ist als die andern. Ist die Waage im Ungleichgewicht , so ist A die gesuchte Kugel, dabei zeigt die Waage an, ob A schwerer oder leichter als C, resp. Die übrigen Kugeln ist.
das gleiche funktioniert auch wenn die eine kugel leichter ist
gruß lenny
2 (!) sinnvoll zu diskutierende ausgänge:
a) gleichstand
b) eine seite senkt sich (o.B.d.A: ist es sch.-egal welche)
im falle a) gehts so weiter:
1-3/9-11
ist es wieder pari, so ist die 12 'kaputt' und eine wägung gegen die 1 bringt klarheit.
hebt oder senkt sich die seite 9-11, dann wissen wir schonmal ob schwerer oder leichter (1-3 sind normkugeln) und müssen nur 9/10 wiegen im dritten wägegang...selbsterklärend , oder?
fall a) ist fertig diskutiert. fall b) ist komplizierter.
o.B.d.A. senke sich die linke seite also kugeln 1-4.damit sind die ku.9-12 als normku. erkannt.
jetzt wird gewogen: 1,2,5,6 /3,4,9,10
1)links runter ist 1 o.2 schwer (der 3wägegang ist dann einfach beide gegeneinander)
2)links rauf, dann sind 5 o. 6 leicht (d.3. wägegang i.d.e.b.gegeneinander)
3)gleich ? dann wäge man 7/8 oben gewinnt
1. 3 x 4 Kugel (K.) (1-4,5-8,9-12): Vergleich 2 x 4 K.
2.1 Waage (Wg) im GW beim 1. Wiegen: 3 neue K. (9-11) gegen 3 belibige Referenzkugel (1-3).
3.1 Wg wieder im GW: Vergleiche Übrige (12) mit einer Referenzkugel
3.2 Waage diesmal im Ungleichgewicht : Zumindest die Richtung des Gewichtsuntersc hiedes ist klar. Vergleiche abschließend 2 dieser K. (9-10).
2.2 Wg im UGW beim 1. Wiegen: 3 K. (1-3) werden rausgelegt, 3 K. wechseln die Waagschale (5-7), die fehlenden 3 K. werden aufgefüllt (9-11)
3.3 Wg nun im GW: Gesuchte K. ist bei den Aussortierten (1-3). Richtung ist auch klar! Jetzt noch 2 K. (1-2) vergleichen.
3.4 Wg kippt auf andere Seite: Gesuchte K. ist bei den Seiten Wechslern (5-7). Richtung ist auch klar! Jetzt noch 2 K. (5-6) vergleichen.
3.5 Position bleibt: Es ist eine der K., die liegen blieben (4,8)! Richtung unklar! 2 K. (4,8 Richtung klar! Kugel wählen die vorher in diese Richtung verfälscht hat.
wir haben die fra^gestellung mit nur 5 kugeln !
wie läuft es dann?
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