Die Amnestie des Königs
Anlässlich seines 50. Geburtstages will ein König einen Teil der 500 im Kerker sitzenden Gefangenen amnestieren. Dazu gibt der König dem Kerkermeister eine genaue Anweisung, wie die Teilamnestie durchzuführen ist:
Beim 1. Durchgang dreht der Kerkermeister den Schlüssel im Schloss jeder Türe im Kerker.
Beim 2. Durchgang im Schloss jeder 2. Türe.
Beim 3. Durchgang im Schloss jeder 3. Türe.
Beim 4. Durchgang im Schloss jeder 4. Türe und so weiter bis zur 500. Tür im Kerker.
Die Schlösser der Türen sind so gearbeitet, dass sie beim ersten Drehen offen sind, beim zweiten Drehen wieder geschlossen, beim dritten wieder offen und so weiter.
Wie viele der 500 Gefangenen können nach dieser Prozedur durch eine offene Türe in die Freiheit?
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Kommentare
1. alle Türen sind offen
2. die geraden Türen werden wieder geschlossen, so dass alle ungeraden Türen offen bleiben
3. alle ungeraden Türen, die sich NICHT durch 3 teilen lassen, sowie alle geraden Türen, die sich durch 3 teilen lassen sind offen
4. nun werden alle Türen geöffnet, die sich durch 4 teilen lassen, nur Türen, die sich durch 4 und 3 teilen lassen (also jede 12. Tür), und daher nach dem 3. Durchgang bereits offen waren, werden wieder geschlossen
Es entsteht eine wiederkehrende Abfolge von 12 Türen. Offen sind: 1, 4, 5, 6, 7, 8, 11 (also 7 von 12 Türen)
Die 13. Tür entspricht der 1. Tür der zweiten Abfolge.
40*12+1*12
=480+12=492=41*12
Es gibt bis 492 also 41*7=287 offene Türen.
493 -> 500 entspricht in der Abfolge 1 -> 8
Dieser Teil beinhaltet nochmal 6 offene Türen.
287+6=293
Damit sollte also jede ungerade Tür nach dem 500. Durchgang offen stehen.
Oder hab ich jetzt ein Brett vorm Kopf... :)
Lösung ist nicht schwer, aber der 13 Tür fängt der Zyklus der offenen und verschlossenen Türen wieder von vorne an.
1x schließen ist offen
2x schließen ist geschlossen
3x schließen ist wieder offen
4x schließen ist wieder geschlossen
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 I 13
1 - - - - - - - - - - - - I -
2 - - - - - - I -
3 - - - - I -
4 - - - I -
I
z o z z o o o o o z z o I z
6 offene Türen
6 Geschlossene Türen
==> 1/2 von 500 = 250 offene Türen
Nach 500 Durchgängen sind genau die Türen offen, die bei einer ungeraden Anzahl von Durchgängen berücksichtigt worden sind. D.h. das die Nummer einer Tür, die nach 500 Durchgängen offen ist, eine ungerade Anzahl von Teilern hat. Das sind die Quadratzahlen. 484 ist hier die größtmögliche Quadratzahl (die kleiner als 500 ist!). Und die Wurzel aus 484 ist 22.
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